An infinite crowd of mathematicians enters a bar. The first one orders a pint, the second one a half pint, the third one a quarter pint... "I understand", says the bartender - and pours two pints.

무한 급수란, 쉽게 말하면 어떤 수열을 무한히 더했을 때 수렴하는 값을 말합니다.
수학적으로는, 어떤 수열 에 대해서, 무한 급수 는 부분합 의 극한으로 정의됩니다.

수학자들이 시킨 칵테일의 양을 한번 계산해보지요.
n번쨰 수학자가 시킨 칵테일의 양을 잔이라고 하면, 이고, 따라서 모든 수학자가 시킨 총 칵테일의 양 는

와 같이 됩니다.  여기서, 를 생각해보면,

가 되고, 따라서, 가 됩니다.
즉, 무한히 많은 수학자들이 시킨 칵테일의 양은 결국 단 두잔의 칵테일로 충분 한 것이고, 무한 급수를 알고 있던 바텐더는 두잔의 칵테일을 내밀은 것이지요.

수학에서 무한이란 참 오묘한 것 같습니다.
사실 고등학교에서 극한이란 것을 배우면서 처음으로 무한대라는 개념을 접하게 되는데, 저도 이 때의 이해에서 그다지 발전 하지는 않은 듯합니다.
대학교 1학년때 델타-입실론 정리로 극한을 정의하지만, 아직도 잘 모르겠네요.
다만 그때 배운 단조하고 유계하면 수렴한다는 정리는 아직도 큰 도움이 되고 있습니다.
이런 수학적인 정리외에, 일반인들이 접할 수 있는 무한의 예로는, 수의 갯수가 있습니다.

구체적인 이야기를 하기전에, 다음 이야기를 읽어보세요.

무한히 방이 많은 호텔이 개업하자, 첫날 무한히 많은 숙박객이 찾아왔다.
방이 무한히 많으므로, 무난히 모든 숙박객에게 방을 제공하였다.
두번째날, 첫날과 같은 무한히 많은 숙박객이 찾아왔지만, 아직 첫날 숙박객은 아무도 체크아웃하지 않은 상태이다.
호텔측은 잠시 고민하였지만, 이내 모든 숙박객에게 방을 제공하였다.
호텔측은, 첫날 체크인 한 손님들에게, 자신의 방번호의 2배되는 방번호로이동할 것을 부탁하였고, 그 결과 1번손님은 2번으로, 2번손님은 4번으로... 와 같이 이동하여, 2, 4, 6, 8, ...의 무한대의 방이 첫날 손님에게, 1, 3, 5, 7, 9, ... 의 무한대의 방이 둘째날 손님에게 제공되었다.

이 이야기는, 수학적으로 이야기 하자면 자연수의 집합과 짝수의 집합중 무엇이 더 큰가? 라는 질문으로 바꿀수 있습니다.
짝수는 자연수에서 홀수를 제외한 부분이므로, 자연수가 더 크다...고 생각 할수 있습니다.
하지만, 무한히 방이 많은 호텔이야기에서 알수 있듯이, 첫날 자연수의 방번호를 모두 채우고 있던 무한히 많았던 손님은, 둘째날 모두 짝수번째 방만으로 수용이 가능했습니다.
즉, 모든 자연수는 짝수와 1대1로 대응시킬수 있고, 이 것은 자연수와 짝수의 크기가 같음을 의미합니다.
어째서 홀수가 빠진 짝수가 자연수와 크기가 같을 수 있을 까요?
그 핵심은 '무한대'의 성질에 있습니다.
자연수와 짝수의 나열을 살펴보면,

자연수: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
짝수: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

짝수는 자연수보다 2배 빠르게 증가하므로, 숫자를 '소모'하는 속도도 2배 더 빠르고, 그 결과 짝수를 다 셌는데, 자연수는 아직도 남아있을 듯합니다.
하지만, 자연수나 짝수나 그 갯수는 무한대입니다.
여기서 무한대는 어떤 특정한 숫자가 아니고, 무한히 커지는 상태에 가깝습니다.
좀더 정확히는, 어떤 수열이 무한대로 발산한다는 것은, 아무리 커다란 수를 끄집어내도, 그보다 커다란 수가 수열에 존재하는 것을 의미합니다.
자연수도 짝수도 그 갯수는 무한대이므로, 갯수를 셌더니 소모되어버린다는 일은 없다는 것입니다.
이럴 때, 자연수와 짝수는 '농도'가 같다고 합니다.